数学与计算机之间的关系一直是密不可分的。
计算机程序依赖于数学，同时数学的计算也受益于计算机的便捷。
知名科普网站Quanta Magazine对2020年在计算机和数学领域的几项重要突破进行了总结。
其中包括了一个困扰数学家超过50年的难题被破解，以及人工智能与数学结合的进展。
此外，来自两位数学家的努力，在疫情隔离期间成功解决了陶哲轩曾挑战的百年数学难题。
TOP1：量子纠缠的重大突破
2020年，计算机科学领域的一个重要突破是MIP*=RE的证明。
这一证明表明，利用量子逻辑的量子计算机能够从理论上验证大量问题的答案，这与经典计算机的0和1计算方式截然不同。
来自悉尼科技大学、加州理工学院、德克萨斯大学奥斯汀分校和多伦多大学的五位计算机科学家联合发表了名为《MIP * = RE》的论文。
论文证明了经典验证与多个量子理论验证相互作用下的语言类别MIP和递归可枚举语言类RE是相等的。
换句话说，MIP*=RE的多方交互式证明结合量子纠缠的计算能力为图灵停机问题提供了新的思路。
物理学家在论文中看到了TsiRelson的物理问题的答案，而数学家则获得了Connes嵌入猜想的解答。
作者之一的HenRy Yuen表示：“就像盲人摸象一样，不同领域的科学家们各自领略了不同的部分，虽然都是正确的，但尚未完全理解整体。”
上世纪80年代，计算机科学家发明了交互证明理论和概率可验证明(PCP)，MIP* = RE则是经典的PCP定理，通过量子纠缠的帮助，能够递归到无穷。
论文得出结论：两台机器间的纠缠和相互验证可以用于解决图灵停机问题，并证明了Connes嵌入猜想是错误的。
他们还引用了经典的两个博弈互证游戏Bell / CHSH，通过无限的纠缠验证提高了胜率。因此，最终的问题依然是如何让这个纠缠验证过程停止。
此外，论文的第一作者是悉尼科技大学量子软件与信息中心的季铮锋教授，他在2007年获得清华大学计算机科学与技术的博士学位。
TOP2：破解“康威扭结”
2020年6月，著名数学家约翰·康威因新冠肺炎去世，留下了一个困扰数学界50年的“康威扭结”（Conway Knot）难题。
在他去世一个月后，德州大学奥斯汀分校的博士生Lisa PicciRillo花了一周时间成功解决了这一问题。
多年来，数学家们发现了各种各样的扭结，这些扭结在拓扑学上可切，但并非平滑可切，且这些扭结的交叉数均大于12。
然而，在交叉点数小于12的扭结中，康威扭结的切片状态一直未被找到。
康威扭结是否平滑可切为何重要？
因为平滑可切的扭结为数学家探索四维空间的独特性质提供了一种途径。
因此，康威扭结的平滑可切性成为扭结理论突破的重要标准。
Lisa认为，如果能够为康威扭结构造一个相同迹的扭结，或许可以更好地结合可切不变性。
于是，她成功构造了一个复杂的扭结，其迹与康威扭结相同，并使用了名为拉斯穆森S不变量（Rasmussen’s s-invariant）的工具。
结果表明她构造的扭结并非平滑可切，从而推断出康威扭结也不是平滑可切的。
TOP3：参加IMO的AI
数学有着数千年的发展历史，而人类的记忆力则有限，即便是一流的数学家也无法记住所有的数学公式和定理。
因此，许多数学科学家开始探索“数学数字化”，试图将数千年积累的数学成果建立成一个数字图书馆。
在微软的Lean软件上，数学家们建立了一个名为Mathlib的数学基础数据库，录入了数学专业大二学生应掌握的所有知识。
他们将数学知识转化为计算机语言，在庞大的数学公式和定理库的基础上解决数学难题。
Lean解决问题的方法与象棋或围棋AI的算法相似，遵循决策树直到找到最优解。
目前，Lean正在筹备参加下一届国际数学奥林匹克（IMO），比赛结果尚未可知，许多人对此持悲观态度。
然而，AI在解决复杂数学题方面已经有了成功的案例。
来自斯坦福大学、卡内基梅隆大学和罗彻斯特理工学院的研究者通过AI，仅用40台电脑和30分钟就解决了困扰数学家90年的凯勒猜想。
那么，2020年在数学和计算领域还有哪些新的突破呢？
几何学进展：内接方形问题
在疫情期间，两位科学家AndRew Lobb和Joshua GReene在封闭的环境中感到无聊，决定动手解决一个困扰百年的数学难题，这个难题连陶哲轩也曾挑战失败。
该问题是：任何简单闭合环路是否总能找到四个点形成任意长宽比的矩形？
这个问题也被称为内接方形问题，源于1911年。德国数学家OTTo ToeplITz曾预测，任何简单闭合曲线都包含四个能够连接形成正方形的点。
尽管这一说法听起来简单，但历代数学家为此费尽心力却未能证明。
1977年，数学家HeRbeRt Vaughan通过莫比乌斯带的解法为内接矩形问题取得了突破性进展。
他证明，在三维空间的任何闭合环路中，至少存在四个点能够构成矩形。
天才数学家陶哲轩利用积分方法解决了特定情况下的内接方形问题。
他证明，对于由两个常数小于1的LIPschITz图形组成的曲线，该曲线必定存在四个点能组成正方形。
然而，两者均未证明任意长宽比的矩形（包括正方形）是否都存在。
在AndRew Lobb和Joshua GReene的方法中，他们将莫比乌斯带嵌入四维辛空间，证明了莫比乌斯带可以在四维辛空间中不相交地嵌入。
这意味着每一个封闭的光滑曲线必须包含四个点的集合，这四个点可以连接成所有长宽比的矩形。
十二面体的新发现
数学家们花费了2000多年的时间研究正四、六、八、十二和二十面体，这些特殊形状被称为柏拉图多面体。多年来，数学家们对它们的理解仍然十分有限。
关于柏拉图多面体，科学家提出了一个问题：从柏拉图立体的一个角出发，是否存在一条直线路径，能在不经过其他角的情况下回到原来的角？
对于由等边三角形或正方形组成的四面体、立方体、八面体和二十面体，科学家们得出的结论是：不存在。必须经过其他角，否则无法回到出发点。
然而，对于正十二面体，由于它是由五边形组成，是否也符合这一结论？
Jayadev AthReya、David Aulicino和PatRick HoopeR在《实验数学》杂志上发表了关于十二面体的研究。
他们认为，正十二面体由五边形构成，五边形与正十二面体之间的几何联系，可以帮助阐明后者的结构。
因此，研究者能够识别出正十二面体回到起点的所有直线路径，并根据其隐藏的对称性对这些路径进行分类。
正十二面体存在无数条这样的直线路径，这些路径还可以分为31个自然族。
数学思想的升华：升级Langlands数学桥
17世纪的法国数学家提出了“费马最后的定理”，声称当整数n>2时，关于x、y、z的方程x²+y²=z²没有正整数解。
这一命题在1995年被英国数学家安德鲁·威尔斯证明，经历了300多年的探索。
威尔斯同时提出了数学桥的概念，意味着该等式连接了两个数学领域，搭建好这座桥就能解开这一不定式。
然而，这只是Langlands项目的一小部分。该项目由加拿大数学家罗伯特·兰兰兹提出，旨在研究数论与几何之间的联系，被视为现代数学研究中的最大项目。
数学家们将这一方法扩展到有理数系数与椭圆曲线之间的联系，最近还扩展到了简单的无理数系数。然而，当涉及虚数或更高的指数（例如4或5）时，现有方法则不再有效。
因此，芝加哥大学的FRank CalegaRi和FACEbook的科学家David GeRaghty为了克服上述障碍，在线上发布了一篇论文，阐述如何建立一个更加通用的不定式桥梁，并提出了三个猜想。
为了验证这三个猜想，数学家们迅速召开了一场秘密研讨会，并整理成了一篇由10人署名的论文。
尽管这篇论文在数学领域的Langlands项目中取得了巨大突破，但对于指数大于6或变量超过两个的不定式，依然没有解决方案。
多项式与幂级数
物理学中的排斥力在数学中也存在。
多伦多大学的VeSSelin DiMITROV证实了这一现象，并得到了实验结果。
通常情况下，多项式的根数目与其次数相等。因此，X² – 4具有两个根，而X⁵ – 7X³ + 2X² – 4X – 9则有五个根。
数学家们希望了解多项式的根与根之间的关系。
为此，引入了分圆多项式，数学家发现其根遵循特定的几何模式，根的分布均匀地位于一个圆内。
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